要求されたアクションを実行するには、WordPress が Web サーバーにアクセスする必要があります。

wordpressの更新を行おうとした時の上記のエラーが発生した場合に、いくつか対策方法があります。
主に権限の修正による対策が記載されていますが、細かい方法はそこらじゅうのサイトに記載されているので省略します。

chmod, chownで解決できない場合

いろいろなサイトを見て権限を調整しましたが、解決できませんでした。
イライラしたのでchmod 777 -R DocumentRootで皆殺しにしましたが、なおもエラーが消えません。
旧サーバと設定を比較しても100%完全に一致しており、手も足も出ない状態です。

そのときあることに気づきました。
気づいたというよりは、設定したような気になっていたのでスルーしていたものが一つありました。

結論から言うと、以下のコマンド実行したあとに更新を行ってみたら更新が動いてしまいました。

$ setenforce 0  

本来であればSELinuxを正しく設定したいのですが、ためしにSELinuxを無効にして動作検証を行ったらそのまま更新が完了してしまったため、正常な設定は次回更新時に行おうと思います。

このサイトにたどり着く人であればSELinuxが原因とわかれば自分で設定可能だと思うので、まぁ大丈夫でしょ。